Analyse 1 (An1)

Viden:

• Konvergenskriterier for talfølger og talrækker
• De vigtigste egenskaber ved funktionsrækker, herunder potensrækker og Fourierrækker
• Definitioner og sætninger vedrørende generelle metriske rum
• Konkrete eksempler på metriske rum
• Anvendelser af potens- og fourierrækker
   

Færdigheder:

• Anvende de gængse konvergenskriterier til at analysere konvergensforhold for talfølger og talrækker i konkrete tilfælde.
• Argumentere for punktvis/uniform konvergens/divergens af funktionsfølger og -rækker i konkrete tilfælde, herunder kunne bruge majorantkriteriet.
• Afgøre om ombytning af summation og integration/differentiation er tilladt for konkrete funktionsrækker.
• Redegøre for konvergensforholdene for potensrækker generelt og at foretage konkrete analyser, herunder bruge de gængse metoder til bestemmelse af konvergensradius.
• Gennemføre argumentation/manipulation ved brug af ledvis integration og differentiation af potensrækker.
• Kende Taylorrækkerne for de klassiske funktioner.
• Bestemme Taylor- og Fourierrækker for en givne funktion, både med og uden elektroniske hjælpemidler.
• Redegøre for konvergensforholdene for Fourierrækker hvad angår både punktvis og uniform konvergens.
• Redegøre for, hvad et metrisk rum er, samt kende standardeksempler på sådanne (ud over talrummene).
• Give forskellige karakteriseringer af kontinuitet/uniform kontinuitet for generelle afbildninger, herunder også \epsilon-\delta definitionen, samt anvende disse til at vise kontinuitet i konkrete situationer.
• Formulere definitionerne af fuldstændighed og af kompakthed for metriske rum og kende standardeksempler på sådanne.
• Anvende hovedsætninger vedrørende kontinuerte afbildninger på kompakte metriske rum i argumentationssammenhæng.
   

Kompetencer:

• Analysere konvergensforhold for uendelige rækker af tal og funktioner og andre grænseprocesser for funktioner.
• Mestre de elementære egenskaber vedrørende potensrækker og Fourierrækker.
• Håndtere abstrakte strukturer (metriske rum) inden for analyse.