Geometri 1 (Geom1)

Kursusindhold

  1. Kurver i rummet, krydsprodukt, prikprodukt, kurvelængde, Frenets 3-ben.
  2. Parametriserede flader: definition, eksempler (grafer, omdrejningsflader, niveauflader), tangentplan, parameterskift, diffeomorfier.
  3. Implicit funktionssætning og invers funktionssætning.
  4. Første fundamentalform, indre geometri, lokale isometrier.
  5. Integration på flader, herunder Stokes' sætning og evt. Gauss' sætning.
  6. Krumning af flader, anden fundamentalform, hovedkrumninger, indre/Gauss krumning og ydre/middelkrumning.
  7. Theorema Egregium.
  8. Geodætiske kurver på krumme flader.
Engelsk titel

Geometry 1 (Geom1)

Uddannelse

Bacheloruddannelsen i fysik

Bacheloruddannelsen i matematik

Målbeskrivelse

Viden: Den studerende vil ved kursets afslutning vide, at kurver og flader i rummet kan behandles matematisk, og at overraskende resultater og dyb indsigt herved kan opnås.

 

Færdigheder: Ved kursets afslutning forventes den studerende at:

  • Have udbygget sit kendskab til Euklidiske rum, specielt R3.
  • Have udvidet sit kendskab til samt udbygget sin fortrolighed med fundamentale begreber fra analyse og lineær algebra herunder implicit givne funktioner.
  • Kunne beskrive og udregne geometriske størrelser forbundet med parametriserede kurver i R2 og R3.
  • Kunne beskrive og udregne geometriske størrelser forbundet med parametriserede flader i R3.
  • Kunne beskrive og udregne geometriske størrelser forbundet med parametriserede kurver på parametriserede flader i R3.
  • Kunne beskrive regulære kurver og regulære flader i Euklidiske rum som niveaumængder (dvs. løsningsmængder til ligninger/​ligningssystemer) eller som grafer for (vektor)funktioner (i flere variable) eller vha. parametriseringer, samt abstrakt (eller konkret på elementære eksempler) kunne omskrive (lokalt) imellem disse tre repræsentationsformer, samt kunne gøre brug af dette (f.eks. i form af implicit differentiation) ved udregning af geometriske størrelser på kurver og flader.
  • Kunne bevise påstande om kurver og flader i konkrete eksempler.
  • Have kendskab til "den indre geometri'' af parametriserede flader samt i specielle tilfælde at kunne udregne hermed associerede størrelser. Kunne beherske beviset for Theorema Egregium samt dets indhold.
  • Kunne beherske begrebet lokal isometri mellem parametriserede flader samt geodætisk kurve på en parametriseret flade.

 

Kompetencer: Løsningsmængder til systemer af ligninger givet ved differentiable funktioner af 3 variable gives en geometrisk fortolkning og danner udgangspunkt for studiet og forståelsen af den indre geometri af kurver og flader i rummet. Herved opnås en større og dybere forståelse for fundamentale matematiske objekter såsom funktioner, afbildninger, planen, rummet, afstande, Euklidiske rum samt mange videregående operationer involverende disse, ikke mindst differentiation og lineær algebra. Den studerende lærer, at mange tidligere lærte definitioner og konstruktioner har et geometrisk indhold, og omvendt, at geometriske objekter såsom flader i rummet kan beskrives og analyseres matematisk. Endelig ses i eksempler, hvorledes man ved passende formuleringer ledes til generaliseringer af begreber såsom funktioner og differentiation. Herved opnås endda en dybere forståelse af de oprindelige strukturer og begreber.

5 timers forelæsninger og 4 timers øvelser om ugen i 7 uger.

Tidligere år har kurset brugt:

  • Henrik Schlichtkrull: Curves and Surfaces. Noter ved IMF, 2018.

Lineær Algebra (LinAlg) og Analyse 0 (An0).

Skriftlig
Mundtlig
Løbende feedback i undervisningsforløbet
ECTS
7,5 ECTS
Prøveform
Skriftlig stedprøve, 4 timer med opsyn.
Krav til indstilling til eksamen

Der er 6 obligatoriske opgaver (skriftlige afleveringer) hvoraf mindst 5 skal godkendes, for at den studerende kan gå til eksamen. Der er mulighed for at genaflevere de første 5 opgaver én gang.

Hjælpemidler
Alle hjælpemidler tilladt
Bedømmelsesform
7-trins skala
Censurform
Ekstern censur
Reeksamen

Samme som ordinære medmindre der er 10 eller færre tilmeldt. I så fald ændres reeksamen til en 30 minutters mundtlig eksamen med 30 minutters forberedelse. Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt under hele reeksamenen. 


Er kravet om mindst 5 af 6 godkendte obligatoriske opgaver ikke opfyldt i løbet af kurset, skal de ikke-godkendte af de mindst 5 opgaver (gen)afleveres til godkendelse og være godkendt senest tre uger inden begyndelsen af reeksamensugen.

Kriterier for bedømmelse

Den studerende skal på tilfredsstillende måde godtgøre, at vedkommende lever op til fagets målbeskrivelse.

Enkeltfag dagtimer (tompladsordning)

  • Kategori
  • Timer
  • Forelæsninger
  • 35
  • Forberedelse (anslået)
  • 139
  • Teoretiske øvelser
  • 28
  • Eksamen
  • 4
  • Total
  • 206

Kursusinformation

Undervisningssprog
Dansk
Kursusnummer
NMAA04013U
ECTS
7,5 ECTS
Niveau
Bachelor
Varighed

1 blok

Placering
Blok 4
Skemagruppe
B
Kapacitet
Ingen begrænsning – medmindre du tilmelder dig i eftertilmeldingsperioden (BA og KA) eller som merit- eller enkeltfagsstuderende.
Studienævn
Studienævn for Matematik og Datalogi
Udbydende institut
  • Institut for Matematiske Fag
Udbydende fakultet
  • Det Natur- og Biovidenskabelige Fakultet
Kursusansvarlig
  • Niels Martin Møller   (7-5150726f6f6875437064776b316e7831676e)
Gemt den 14-02-2024

Are you BA- or KA-student?

Are you bachelor- or kandidat-student, then find the course in the course catalog for students:

Courseinformation of students