Geometri 1 (Geom1)

Viden: Den studerende vil ved kursets afslutning vide, at kurver og flader i rummet kan behandles matematisk, og at overraskende resultater og dyb indsigt herved kan opnås.

Kompetencer: Løsningsmængder til systemer af ligninger givet ved differentiable funktioner af 3 variable gives en geometrisk fortolkning og danner udgangspunkt for studiet og forståelsen af den indre geometri af kurver og flader i rummet. Herved opnås en større og dybere forståelse for fundamentale matematiske objekter såsom funktioner, afbildninger, planen, rummet, afstande, Euklidiske rum samt mange videregående operationer involverende disse, ikke mindst differentiation og lineær algebra. Den studerende lærer, at mange tidligere lærte definitioner og konstruktioner har et geometrisk indhold, og omvendt, at geometriske objekter såsom flader i rummet kan beskrives og analyseres matematisk. Endelig ses i eksempler, hvorledes man ved passende formuleringer ledes til generaliseringer af begreber såsom funktioner og differentiation. Herved opnås endda en dybere forståelse af de oprindelige strukturer og begreber.

Færdigheder: Ved kursets afslutning forventes den studerende at:

• Have udbygget sit kendskab til Euklidiske rum, specielt R³.
• Have udvidet sit kendskab til samt udbygget sin fortrolighed med fundamentale begreber fra analyse og lineær algebra herunder implicit givne funktioner.
• Kunne beskrive og udregne geometriske størrelser forbundet med parametriserede kurver i R² og R³.
• Kunne beskrive og udregne geometriske størrelser forbundet med parametriserede flader i R³.
• Kunne beskrive og udregne geometriske størrelser forbundet med parametriserede kurver på parametriserede flader i R³.
• Kunne beskrive regulære kurver og regulære flader i Euklidiske rum som niveaumængder (dvs. løsningsmængder til ligninger/ligningssystemer) eller som grafer for (vektor)funktioner (i flere variable) eller vha. parametriseringer, samt abstrakt (eller konkret på elementære eksempler) kunne omskrive (lokalt) imellem disse tre repræsentationsformer, samt kunne gøre brug af dette (f.eks. i form af implicit differentiation) ved udregning af geometriske størrelser på kurver og flader.
• Kunne bevise påstande om kurver og flader i konkrete eksempler.
• Have kendskab til "den indre geometri'' af parametriserede flader samt i specielle tilfælde at kunne udregne hermed associerede størrelser. Kunne beherske beviset for Theorema Egregium samt dets indhold.
• Kunne beherske begrebet lokal isometri mellem parametriserede flader samt geodætisk kurve på en parametriseret flade.