Kompleks funktionsteori (KomAn)

Kursusindhold

1. Simple egenskaber ved holomorfe funktioner,  Cauchy-Riemann's ligninger.
2. Summen af en potensrække er  holomorf.
3. Eksponentialfunktionen og de trigonometriske og hyperbolske funktioner af en kompleks variabel og deres potensrækker.
4. Kurveintegraler og stamfunktioner i den komplekse plan.
5. Cauchy's sætninger.
6. Anvendelser af Cauchy's sætninger: Udvikling af holomorfe funktioner i  potensrækker, harmoniske funktioner, lokal uniform konvergens, Liouville's sætning, algebraens fundamentalsætning.
7. Argument, logaritme, potens, herunder  n'te rødder og Riemannfladen
for kvadratroden intuitivt.
8. Nulpunkter og poler, meromorfe funktioner og Laurentrækker.
9. Cauchy's  residuesætning, Rouché's sætning og anvendelser vedrørende
udregning af  integraler and summen af uendelige rækker.
10. Maksimumprincippet.
11. Möbius transformationer.

Engelsk titel

Complex Analysis (KomAn)

Uddannelse

Bacheloruddannelsen i matematik
Bacheloruddannelsen i naturvidenskab og it

Målbeskrivelse

Viden:

Beherske de fundamentale begreber holomorfi, Cauchy-Riemann's ligninger, komplekse kurveintegraler, stamfunktioner, nulpunkter, isolerede singulariteter, poler, essentielle singulariteter, residuer, harmoniske funktioner, Möbius transformationer,  argumentvariation og omløbstal. Ovenstående omfatter både forståelse af det teoretiske indhold og evne til at afgøre om en bestemt egenskab gælder i konkrete eksempler.


Færdigheder:

To færdigheder er  centrale: Opgaveløsning og matematisk ræsonnement.

Ved kursets afslutning forventes studenterne at kunne følgende:

  • Beherske beregninger med komplekse tal involverende addition, subtraktion, multiplikation, division, roduddragning, potensopløftning og grænseværdier.
  • Udføre beregninger med potensrækker og kunne gøre brug af potensrækkerne for de elementære funktioner: de trigonometriske, de hyperbolske, logaritmer og eksponential funktioner.
  • Bestemme værdien af konkrete integraler og summer baseret på Cauchy's sætninger, specielt residuesætningen.
  • Afgøre punktvis, uniform og lokalt uniform konvergens af følger og uendelige rækker af holomorfe funktioner.
  • Finde potensrækker og Laurentrækker for konkrete funktioner.
  • Bestemme og klassificere nulpunkter og isolerede singulariteter.

 

 Kompetencer:

De studerende forventes at have lært, at

  • ideer og metoder fra kompleks analyse kan give en dybere forståelse af problemer fra reel analyse end det er muligt at opnå ved udelukkende at arbejde i det reelle område.
  • der er vigtige forskelle mellem resultater i reel og kompleks analyse.
  • beherske et vist antal nøgleresultater på en sådan måde, at de kan reproducere beviserne  og anvende dem i logiske ræsonnementer på beslægtede problemstillinger.

 

5 timers forelæsninger og 4 timers øvelser om ugen i 7 uger.

ECTS
7,5 ECTS
Prøveform
Skriftlig prøve, 3 timer med opsyn.
3 timers skriftlig prøve i to dele. Efter 90 minutter samles besvarelsen af første del.
Hjælpemidler
Kun visse hjælpemidler tilladt

I de første 90 minutter af den skriftlige eksamen er ingen hjælpemidler tilladt. De studerende bliver bedt om at reproducere udvalgte definitioner og beviser fra kursusmaterialet, samt eventuelt at svare på elementære spørgsmål i relation til disse.

De sidste 90 minutters bliver de studerende bedt om at løse opgaver og de har nu adgang til at bruge bøger, noter og almindelige lommeregnere, men de må ikke have internetadgang, og laptops, smartphones og lignende er ikke tilladt.

Bedømmelsesform
7-trins skala
Censurform
Ingen ekstern censur
Én intern eksaminator.
Kriterier for bedømmelse

De studerende skal vise, at de har tilegnet sig en tilfredsstillende del af den viden,  færdighed og kompetence, som er beskrevet.

Enkeltfag dagtimer (tompladsordning)

  • Kategori
  • Timer
  • Eksamen
  • 3
  • Forelæsninger
  • 35
  • Teoretiske øvelser
  • 28
  • Forberedelse
  • 140
  • Total
  • 206