Geometri 1 (Geom1)

Kursusindhold

 

1. Baggrundsstof.
2. Invers funktionssætning.
3. Kurver i rummet, krydsprodukt, prikprodukt, kurvelængde, Frenet's 3-ben.
4. Parametriserede flader: definition, eksempler (grafer, omdrejning etc.), niveauflader, tangentplan, parameterskift, diffeomorfi, første fundamentalform, indre geometri, areal på flader, isometri.
5. Krumning af flader, anden fundamentalform, hovedkrumninger, geodætiske kurver.
6. Teorema Egregium.
7. Gauss-Bonnet.

 

Engelsk titel

Geometry 1 (Geom1)

Uddannelse

Bacheloruddannelsen i matematik

Bacheloruddannelsen i fysik

Målbeskrivelse

Viden: Den studerende vil ved kursets afslutning vide, at kurver og flader i rummet kan behandles matematisk, og at overraskende resultater og dyb indsigt herved kan opnås.

 

Kompetencer: Løsningsmængder til systemer af ligninger givet ved differentiable funktioner i 3 variable gives en geometrisk fortolkning og danner udgangspunkt for studiet og forståelsen af den indre geometri af kurver og flader i rummet. Herved opnås en større og dybere forståelse for fundamentale matematiske objekter såsom funktioner, afbildninger, planen, rummet, afstande, Euklidiske rum samt mange videregående operationer involverende disse, ikke mindst differentiation og lineær algebra. Den studerende lærer at mange tidligere lærte definitioner og konstruktioner har et geometrisk indhold, og omvendt, at geometriske objekter såsom flader i rummet kan beskrives og analyseres matematisk. Endelig ses i eksempler hvorledes man ved passende formuleringer ledes til generaliseringer af begreber såsom funktioner og differentiation. Herved opnås endda en dybere forståelse af de oprindelige strukturer.

 

Færdigheder: Ved kursets afslutning forventes den studerende at:

Have udbygget sit kendskab til Euklidiske rum, specielt R^3.

Have udvidet sit kendskab til, samt udbygget sin fortrolighed med, fundamentale begreber fra analyse og lineær algebra herunder implicit givne funktioner.

Kunne beskrive og udregne geometriske størrelser forbundet med parametriserede kurver i R^3 og R^2.

Kunne beskrive og udregne geometriske størrelser forbundet med parametriserede flader i R^3.

Kunne beskrive og udregne geometriske størrelser forbundet med parametriserede kurver på parametriserede flader i R^3.

Kunne bevise påstande om kurver og flader i konkrete eksempler. Have kendskab til ``den indre geometri'' af en parametriseret flade samt, i specielle tilfælde, at kunne udregne størrelser hørende til denne. Kunne beherske beviset for, og indholdet af, TEOREMA EGREGIUM.

Kunne beherske begrebet isometri mellem parametriserede flader samt geodætisk kurve på en parametriseret flade.

Kunne beregne Euler-karakteristikken af en given triangulering af en konkret lukket flade.

Have kendskab til Gauss-Bonnet Sætningen.

5 timers forelæsninger og 4 timers øvelser om ugen i 7 uger.

Lineær Algebra (inAlg) og Analyse 0 (An0).

ECTS
7,5 ECTS
Prøveform
Skriftlig prøve, 3 timer med opsyn.
---
Hjælpemidler
Alle hjælpemidler tilladt

OBS: Hvis eksamen afholdes på ITX, stiller ITX computer til rådighed. Egen computer, tablet eller mobiltelefon må IKKE medbringes. Lærebøger og noter medbringes i papirform eller på USB-stik.

Bedømmelsesform
7-trins skala
Censurform
Ekstern censur
Kriterier for bedømmelse

Den studerende skal på tilfredsstillende måde godtgøre at han/hun lever op til fagets målbeskrivelse.

Enkeltfag dagtimer (tompladsordning)

  • Kategori
  • Timer
  • Forberedelse
  • 35
  • Teoretiske øvelser
  • 28
  • Forberedelse
  • 140
  • Eksamen
  • 3
  • Total
  • 206